Matematik Eğlencelidir! (I)      

Evet, matematik çok eğlencelidir, eğlenmesini bilene. Aşağıda bazı matematiksel güzellikler bulacaksınız.

Önce bazı tanımlar ve bilgiler:

Sayı nedir?

Sayı bir düşünce aracıdır, bir fikirdir. Sayılarla çok farklı eşya kümelerini karşılaştırabiliriz. Sayılar sayma işleminin arkasındaki fikirdir. Fiziksel olarak, bir şey sayılarla ifade edilemiyorsa, bilim değildir. If something exists, it exists in an amount, and it can be measured.

Rakam nedir?

Rakamlar sayıları göstermek için kullandığımız sembollerdir.

Basamak nedir?

Basamak sayıların alfabesidir.

Sayı sistemimizin kaynağı nedir?

Bugün kullandığımız rakamlara Hint-Arap rakamları denir. Hintliler, Mısırlılar, Persler ve Arapların kullanıp geliştirdikleri işaretlerdir. Sayı sisteminin ülke ülke dolaşan tüccarların elinde geliştiği ve böylece de bir çok kaynaktan çıktığı tahmin ediliyor. Fakat en büyük sayıları rakamlar kullanarak ifade eden ilk insanlar Hintlilerdir. (TÜBİTAK tarafından tercüme ettirilip satışa sunulan, Georges Ifrah'ın Rakamların Evrensel Tarihi ilgilenenlere şiddetle önerilir.)

Sıfır nereden geldi?

Sıfır Hintlilere atfedilir. Onlar sıfırı bugün bizim kullandığımız biçimde kullanan ilk insanlardır. Hintliler sıfırı küçük bir daire ile gösterirlerdi. Bu dairenin adı shunya ("boşluk, boş", Sanskrit) idi. Bu kelime miladi 800'lerde Arapça'ya sıfr olarak tercüme edildi. İngilizce'de biraz daha değişmiş haliyle, zero olarak halen yaşamaktadır.

Bu arada "sıfır=0", "cifir=kutsal metinlerden gematria (ebced), temurah (permutasyon) ve notariqon (akrostiş) usulleriyle okült (batıni, içrek, gizli) bilgiler çıkarma yöntemi, yani gizemin matematiği" ve "cebir=matematiğin bir dalı" kelimeleri arasındaki tesadüf ötesi benzerliğe dikkat ediniz. Halen kullandığımız "şifre" kelimesi bunların birinden ya da hepsinden birden etkilenerek geliyor olmalı.

Bir anda görmek için hepsini tablo halinde yazalım:

"+" ve "-" işaretleri nereden geldi?

"+" işareti Latin "et=ve, ekle" kelimesinden geliyor. Bu iki işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya sandıkların ağırlıklarının fazla veya az olduklarını göstermek için kullanılırdı. 40 sene içinde muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı.

"=" işaretini kim keşfetti?

1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti.

Mükemmel sayılar:

Kendisi hariç, çarpanlarının toplamına eşit olan sayı. Örnek 28=1+2+4+7+14

Asal sayılar:

Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, ... gibi.

1 niye asal değildir?

1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte kabul edilmez.

Asal çarpan:

Bir sayının asal sayı çarpanı.

Bir sayının 0. kuvveti niye 1'dir de sıfır veya başka herhangi bir sayı değildir?

Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur. Yani,

2⁰=1

2¹=2=2x1

2²=4=2x2

2³=8=2x4

2⁴=16=2x8 ...

Googol nedir?

1 den sonra 100 sıfır yazılarak elde edilen sayıya bu ad verilmiştir (yani, 10¹⁰⁰). Şimdiye kadar isimlendirilen en büyük sayılardan biridir. Googolplex googoldan da büyük bir sayıdır. Bir googolplex 1 den sonra bir googol sıfır yazılarak elde edilen sayıdır. Bu sayıyı yazmak için Dünya-Ay arası uzaklığın yetmeyeceğini iddia edenler var.

Matematik Eğlencelidir! (II)                                                      Yukarı ∆

Bunları biliyor muydunuz?

·        Saniyede bir sayı söyleyerek ve günde 7 saat sayarak 1 milyara kadar saymak isteseydik, bunu ne kadar zamanda yapabilirdik?

           10 ⁹                 = 108.7 sene.

60 . 60 . 7 . 365

·        1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır.

      1729=10³ + 9³ = 12³ + 1³.

        Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan'dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan sayısı denir.

·        9'un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani 9⁹⁹, sadece üç rakamla ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse hesaplayamadı. (Siz hesaplayabilir misiniz?) Cevap 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

·        1 den 10 milyara kadar olan sayılar içinde asal olan 664580 sayıyı içeren tablolar yapılmıştır. Bilinen en büyük asal sayı 2¹²⁷ - 1'dir. Bu sayı 39 basamaklıdır.

·        İnsan saç telinin kalınlığının santimetrenin 3/400 u kadar olduğu tahmin ediliyor. Yani, 133 saç telini yan yana koyarsanız 1 cm olur.

·        Brahminlerin (Hindistan'da rahipler kastı) sahip oldukları bilgileri diğer kastlardaki kardeşlerinden ve feodal beylerden saklı tutma endişeleri onları Sutralar diye bilinen gizli kodları kullanmaya itmiştir. Aşağıdaki ilahi (Sanskrit) kodlanmış bir matematik bilgisidir:

GOPI BHAGYAMADUV RATA SHRINGISHODADI SANDIGA, KALA JEEVITARAVA TAVA GALADDHALARA SANGARA.

Bu ilahi Tanrı Krishna'ya övgü olarak söylenir. Ondaki gizli anlamı çıkarmak kolay değildir. Fakat kodu çözülünce p sayısını virgülden sonra 30 basamağa kadar verir.

·        Şimdi de pisagor teoremini kanıtlayan Pythogoras hakkında bir öykü. Pytho bir gün bir demirci dükkanının önünden geçiyordu. Örse vuran çekiçlerin çıkardıkları ahenkli sesler ilgisini çekti ve durup dinlemeye başladı.

5 demirci çalışıyordu ve her birinde farklı büyüklüklerde çekiç vardı. Pytho çekiçlerden düzenli olarak çıkan seslerin bir müzik parçasına benzediğini duyup hayret etti. Dinledikçe fark etti ki, her çekicin ağırlığının farklı olması, örse vurduklarında değişik notalardan ses vermesini sağlıyordu. Çekiç ne kadar ağırsa nota o kadar düşüktü.

Sonra bir çekicin seslerin ahengini bozduğunu fark etti. Demircilerden çekiçleriyle bir deneme yapmak için izin istedi. Demirciler kabul etti.

Her çekici dikkatle tarttı. Ahengi bozan çekicin basit bir sayı düzenine uymayan ağırlığa sahip olduğunu buldu. (Diğer çekiçlerin ağırlıkları, bir sayı dizisi oluşturacak şekildeydi.) İncelemelerine devam ettikçe, farklı büyüklüklerdeki çekiçlerle bir müzik skalasını nasıl oluşturabileceğini öğrendi.

Bu, bir matematikçi tarafından müzikte yapılan en büyük ve en eski keşiflerden biriydi.

Matematik Eğlencelidir! (III)                                                      Yukarı  ∆

Bazı sayısal anekdotlar

·        5 adet 2 kullanarak 0-9 arası sayıları elde etmek:

2+2-2-2/2=1

2+2+2-2-2=2

2+2-2+2/2=3

2*2*2-2-2=4

2+2+2-2/2=5

2+2+2+2-2=6

22/2-2-2=7

2*2*2+2-2=8

2*2*2+2/2=9

2-2/2-2/2=0

·        Şimdi de şuna bakın:

1*1=1

11*11=121

111*111=12321

1111*1111=1234321

11111*11111=123454321

111111*111111=12345654321

1111111*1111111=1234567654321

11111111*11111111=123456787654321

111111111*111111111=12345678987654321

·        153'ün hikayesi nedir? Bu sayı rakamlarının küplerinin toplamına eşittir.

153 = 1³ + 5³ + 3³

Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:

370=3³+7³+0³

371=3³+7³+1³

407=4³+0³+7³

·        1634'ün hikayesi nedir? Bu sayı rakamlarının 4. kuvvetlerinin toplamına eşittir.

1634=1⁴+6⁴+3⁴+4⁴

Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:

8208=8⁴+2⁴+0⁴+8⁴

9474=9⁴+4⁴+7⁴+4⁴

·        4150 ve 4151 in de benzer hikayesi var:

4150=4⁵+1⁵+5⁵+0⁵

4151=4⁵+1⁵+5⁵+1⁵

·        2025, 3025 ve 9801 sayılarının başları kel mi? Bu sayıları iki kısma ayırdıktan sonra bu kısımları toplayarak karelerini alırsak aynı sayıları buluruz:

20 + 25 = 45

45² = 2025

30 + 25 = 55

55² = 3025

98 + 01 = 99

99² = 9801

·        Doğal sayılarda a² + b² = c² + d² eşitliğine bir örnek:

10² + 5² = 11² + 2²

Başka var mı?

·        Hangi sayının rakamları kendi kuvvetlerine gönderilip toplanırsa ilk sayıyı verir?

0 ve 1 dışında böyle iki sayı var: 3435 ve 438,579,088 sayıları.

3435=3³+4⁴+3³+5⁵

438,579,088=4⁴+3³+8⁸+5⁵ +7⁷+9⁹+0⁰+8⁸+8⁸

Soru: 438,579,088 den daha büyük başka bir sayının böyle bir özelliğe sahip olamayacağını kanıtlayabilir misiniz?

·        4 de güzel bir sayıdır:

4 = 2+2 = 2*2 = 2²

·        0 ve 2 den başka çarpımları toplamlarına eşit tamsayılar yok. Tamsayı şartı kaldırılırsa, böyle sayıları veren bir kural bulunabilir mi?

Evet. n ve n / (n - 1) sayılarının toplam ve çarpımları aynıdır. Örneğin, n=5 ise

5 + 5 / 4  = 5 * 5 / 4 = 25 / 4

·        Üç sayıyla böyle bir işlem yapılabilir mi? Evet.

1 + 2 + 3 = 1 . 2 . 3 = 6

Peki, herhangi üç sayının aynı özelliği taşıması için bir kural bulunabilir mi?

·        8 adet 8 i toplayarak 1000 elde edebilir misiniz?

888+88+8+8+8 = 1000

·         8 ile ilgili daha ne var?

88=9*9+7

888=98*9+6

8888=987*9+5

88888=9876*9+4

888888=98765*9+3

8888888=987654*9+2

88888888=9876543*9+1

Bitmedi:

12345679*8=98765432

·        Şimdi bir oyun oynayalım:

1.      Bir sayı yazın.

2.      Bu sayıyı tersinden yazın.

3.      Küçüğü büyükten çıkarın.

4.      Farkın rakamlarını toplayın.

5.      Bu toplamın basamak sayısı 1 den fazlaysa, rakamları bir daha toplayın.

6.      Böyle devam ederseniz daima 9 bulursunuz.

Uygulama:

1.      2578

2.      8752

3.      8752-2578=6174

4.      6+1+7+4=18

5.        1+8=9

·        8 dışında 1-9 rakamlarını sırayla yazarak 9'un katlarıyla çarpmayı denediniz mi?

12345679*9=111111111

12345679*18=222222222

12345679*27=333333333

12345679*36=444444444

12345679*45=555555555

12345679*54=666666666

12345679*63=777777777

12345679*72=888888888

12345679*81=999999999

·        Tek sayıların toplamlarının neyi verdiğini hiç düşündünüz mü?

1=1=1²

1+3=4=2²

1+3+5=9=3²

1+3+5+7=16=4²

1+3+5+7+9=25=5²

1+3+5+7+9+11=36=6²

...

·        Peki ya sayıların küplerinin toplamlarının?

1³ = 1 = 1²

1³ + 2³ = 9 = 3² = ( 1 + 2 )²

1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6² = ( 1 + 2 + 3 )²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100 = 10² = ( 1 + 2 + 3 + 4 )²

...

·        142857 apayrı bir güzelliktir. Buna dairesel sayı diyelim. Bir daire çevresine bu sayının rakamlarını yazar ve sayıyı 1-6 arası herhangi bir sayıyla çarparsanız daire çevresinde bir rakamdan başlayarak aynı sırayla başka bir sayı elde edersiniz.

142857*1=142857

142857*2=285714

142857*3=428571

142857*4=571428

142857*5=714285

142857*6=857142

7'yle çarpın. Sürpriz!

142857*7=999999

Burada bittiğini sanıyorsanız, bir de 7'den büyük sayılarla çarpmayı deneyin:

142857*8=1142856

Eee? Ne var1142856'da? Dikkatle bakın. Bu sayıda ilk sayının 7'si yok ama 7'nin bulunması gereken yerde 6, başta da 1 var. Yani, 6+1=7. Gerisi yine ilk sayıdaki sırasıyla aynı rakamlar. Çarpmaya devam ederseniz, ilk sayının diğer rakamlarının da değişik biçimlerde iki parçaya ayrıldığını göreceksiniz.

142857*9= 1285713

142857*10= 1428570

142857*11= 1571427

142857*12= 1714284

...

Bir güzelliği daha var:

142857*142857=142857²= 20408122449

Bu sayıyı 20408 ve 122449 olmak üzere iki kısma ayırıp bunları toplarsak,

20408+122449=142857

Bu güzel sayı nereden geliyor dersiniz?

1/7=0.142857142857142857...

·        Başka dairesel sayı var mı? Evet. İşte:

526 315 789 473 684 210.

Bu sayıyı 1-200 arasındaki hangi sayıyla çarparsanız çarpın, rakamlarının sırası aynı kalacak şekilde bu sayının başka bir dizilişini bulursunuz.

·        Hiç aklınıza gelir miydi?

12345679*999999999=12345678987654321=111111111²

·        Su çarpma işleminde ilginç bir şey var mı?

138*42=5796

9 rakamın hepsi kullanılmış ve hepsi de farklı. Bunun gibi 9 çarpım daha yazılabilir:

12*483=5796

18*297=5346

39*186=7254

48*159=7632

27*198=5346

28*157=4396

4*1738=6952

4*1963=7852

·        Şu çarpma işleminin bir özelliği var mı?

8712=4*2178

Evet! Bu işlem "hangi sayı 4 ile çarpıldığında, aynı sayıyı tersten verir?" sorusunun cevabıdır.

·        0 hariç 1 den 9'a kadar bütün rakamları sırayla yazın (123456789). Uygun yerlere "+" veya "-" işaretleri koyarak 100 elde edin.

Bir cevap şöyle:

12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

Başka bir cevap daha var:

123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100

Acaba başka var mı? Biraz düşünün bakalım.

"/" işaretine de izin verilir ve rakamları sırayla yazma şartı kaldırılırsa, şöyle bir çözüm bulunabilir:

49 (1 / 2) + 50 (38 / 76) = 100

Ya da,

49 (38 / 76 ) + 50 ( 1 / 2 ) = 100

Başka bulabilir misiniz?

·        Belki de bu kadar müsrif olmamak gerek. İnsan 9 rakamla neler yapmaz ki!

148     +      35     =  1

296                            70

·        Öyle bir sayı yazalım ki, bu sayının soldan ilk rakamı sayıdaki sıfırların sayısını, 2. rakamı sayıdaki 1'lerin sayısını, 3. rakamı sayıdaki 2'lerin sayısını ... versin.

n sayımızın basamak sayısını göstersin.

n=1: yazılamaz

n=2: yazılamaz

n=3: yazılamaz 

n=4: 1210, 2020

n=5: 21200

n=6: yazılamaz

n=7: 3211000

n=8: 42101000

n=9: 521001000

n=10: 6210001000

n>10: (n-4), 2, 1, 0 * (n-7), 1, 0, 0, 0

Matematik Eğlencelidir! (IV)                          Yukarı ∆

 Kahin miyim, neyim?

Prosedür:

1.      Tablodaki herhangi bir sayıyı daire içine alın.

2.      Bu sayının satır ve sütunundaki diğer sayıları karalayın.

3.      Kalan sayılardan birini daha daire içine alın.

4.      Bu sayının da satır ve sütunundaki diğer sayıları karalayın.

5.      Daire içinde dört sayı kalıncaya kadar #3'e devam edin.

6.      Bu dört sayıyı toplayın.

7.      34 mü etti?

8.      Ben kahin olmalıyım!

 Kısır Döngü

Prosedür:

1.      Rakamları farklı 4 basamaklı bir sayı yazın. (Örneğin, 2087)

2.      Bu sayının rakamlarını büyükten küçüğe doğru düzenleyip yazın. (8720)

3.      Son yazdığınız sayıyı tersten yazın. (278)

4.      #2den #3ü çıkarın. (8720-278=8442)

5.      Bu işlemi fark sayıyla #2den itibaren 10 kez tekrarlayın.

6.      Ne oldu, kısır döngüye mi girdiniz? Hep 6174 mü çıkıyor yoksa? Artık inansanız iyi olur, ben bir kahinim!

 Hep aynı biçimde çarpacak değilim ya ...

Prosedür:

1.      Çarpılacak iki sayıyı yan yana yazın.

2.      1. sayıyı sürekli ikiye bölün, küsurlu çıkarsa tam kısmı yazın.

3.      1'e ulaşınca durun.

4.      2. sayıyı sürekli iki katına çıkarın ve birinci sayıdan elde ettiğiniz sayının yanına yazın.

5.      1. sayının 1'ine gelince durun

6.      Yanyana olan sayılardan ikisi de çiftse bunları karalayın.

7.      2. sütundaki kalan sayıları toplayın.

8.      O da ne? Başlangıçtaki sayıların çarpımı mı yoksa!

9.      Ailenizin kahinini takdim ederim.

Uygulama:

35 x 42 = ?

2. sayıdan kalanları topla:

42 + 84 + 1344 = 1470

Doğrudan çarpsaydınız ne çıkacaktı?

Matematik Eğlencelidir! (V)

Aşağıdaki işlemler bir ya da bir kaç matematiksel nedenle yanlıştır. Bakalım bunları görebiliyor musunuz?

Teorem: 4=5
Kanıt:

16 - 36 = 25 - 45 (bu doğru)

4² - 9*4 = 5² - 9*5 (bu da)

Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse eşitlik bozulmaz:

4² – 9*4 + 81/4 = 5² – 9*5 + 81/4

Her iki taraf da tam karedir:

(4 – 9/2)² = (5 – 9/2)²

Her iki tarafın kare kökünü alalım:

4 – 9/2  = 5 – 9/2

ve,

4 = 5

Kanıt tamam.

Teorem

: 1 lira 1 kuruşa eşittir.
Kanıt:

1 Tl = 100 k (tanım gereği)

100 10'un karesidir:

1 Tl = (10 k)²

10 kuruş 1 liranın 10'da biridir:

1 Tl = (0.1 Tl)²

0.1'in karesi 0.01 dir:

1 Tl = 0.01 Tl

0.01 yüzde bir demektir. 1 liranın yüzde biri 1 kuruş olduğundan,

1 lira = 1 kuruş

Kanıt tamam.

Teorem:

i < -1   ( i = Ö-1)
Kanıt:

( 0.5 + (Ö3/4).i )³ = (-1)³ (bu doğru)

Her iki tarafın küp kökünü alalım:

0.5 + (Ö3/4).i  =  -1

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

1 + (Ö3).i = -2

i için çözelim:

i =  -1/Ö3

Kanıt tamam.

Teorem:

Bütün sayılar eşittir.
Kanıt:

a ve b herhangi iki sayı ve t = a + b olsun.

a + b = t

Her iki tarafı a - b ile çarpalım:

(a + b) . (a - b) = t . (a - b)

Dağıtalım:

a² - b² = t . a - t . b

Yeniden düzenleyelim:

a² - t . a = b² - t . b

Her iki tarafa t²/4 ekleyerek kareye tamamlayalım:

a² - t . a + t²/4 = b² - t . b + t²/4

(a - t/2)² = (b - t/2)²

Her iki tarafın kare kökünü alalım:

a - t/2= b - t/2

a = b

Kanıt tamam. Herhangi iki sayı birbirine eşitmiş, matematiği niye öğretirler ki?

Matematik öğretmenleri nasıl oluyor da soruları sizden daha çabuk ve kolay çözüyor? Cevap çok basit: Onlar öğrencilerine her şeyi öğretmiyor, bilgilerin bir kısmını kendilerine saklıyorlar. Sakladıkları bu bilgilerin arasında onların soruları kolayca ve çabucak çözmelerini sağlayan bazı sırlar var. İşte bu sırlardan biri:

Kesirleri sadeleştirirken önce onları asal çarpanlarına ayırmayı ve pay ve paydadaki aynı çarpanları götürmeyi öğretirler. Size söylemedikleri gizli bilgi ise pay ve paydadaki aynı sayıları götürmenin de aynı işe yarayacağıdır. İşte örnek:

        Öğrettikleri Metod                                   Öğretmedikleri Metod

  16    =    2.2.2.2        =   1                 16   =  16  =  1

  64         2.2.2.2.2.2.       4                  64       64      4

  26    =   2 . 13   =  2                           26    =  1

  65         5 . 13       5                            65       5

 19  =  1 . 19   =  1                             19  =   1  

95       5 . 19       5                             95        5

Aşağıdaki hikayede mantıksal bir yanlış yok, falsity implies anything sözüne bir örnek:

B Russell (veya A N Whitehead) bir defasında 1 + 1 = 1 olduğu verilirse herhangi bir şeyi kanıtlayabileceğini iddia etmişti.

Bir gün ukalanın biri, "peki, Papa olduğunu kanıtla bakalım," dedi.

Bir an düşündükten sonra cevap verdi: "Ben birim. Papa bir. O halde ben ve Papa biriz.

Böyle olmadığını kanıtlayabilir misiniz? Ya da yanlış nerede?

Lim Ö8   = 3

       ^8®9

Yukarı ∆