Özel Servergazi Ufuk Lisesi

Zümreler

Matematik

Matematik Eğlencelidir

Fıkralar

Zeka Soruları

Sorular

Hikaye ve Espiriler

Sayılar

Kitaplar

SORU 1: Zihninde üç boyutlu geometrik yapılarla oynamayı seven mühendislik öğrencisi, bir gün kantinde kahve ve kek molası vermiş. Kahvesine küp şekeri atmadan önce masanın üzerine koymuş ve alışkanlık gereği küp üzerine düşünmeye başlamış:

Şimdi bu kübü merkezinden geçen yatay bir düzlemle kesersem kesişim düzlemi tabiki bir kare olur. Eğer kübü dört köşesinden ve küp merkezinden geçen bir düzlemle kesersem sonuç bir dikdörtgen olur. Şimdi şöyle kestiğimi düşünelim... Vay be bu bir düzgün altıgen!"

Öğrencinin kendini de şaşırtan bu kesişimi nasıl elde ettiğini söyleyebilir misiniz? Kübün bir kenarı 2 cm uzunluğunda ise düzgün altıgenin bir kenarının uzunluğu nedir?

İpucu : Kübü altı kenarının orta noktalarından geçen bir düzlemle kesmeyi deneyin

CEVAP 1: Küp, şekilde görüldüğü gibi altı kenarının orta noktalarından geçen bir düzlemle ikiye ayrılıyor bu kesişim düzgün bir altıgen veriyor. Kübün bir kenarı 2 cm ise altıgenin bir kenarı Pisagor teoremi kullanılarak 2 bulunabilir.

SORU 2: Bilindiği gibi elips sabit iki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesinin oluşturduğu bir geometrik yapıdır. Bir elips çizmenin en kolay yolu bir ip alıp ipin iki ucunu şekilde görüldüğü gibi kağıda iğnelemek ve ipi de bir kalem yardımıyla gerip sabit iki nokta çevresinde gezdirmek. Eğer sabit noktalar çakışırsa, yani iki değil bir nokta etrafında kalemimizi döndürürsek bir çember elde ederiz. Çemberin içine düzgün çokgenler çizmek mümkün. Kare, beşgen, altıgen, yada daha fazla kenara sahip düzgün çokgenler. Peki elipsin içine kareden yani 4 kenarlı düzgün çokgenden daha fazla kenar sayısına sahip düzgün çokgenler çizilebilir mi? Çokgenlerin herbir köşesinin elipse değmesi gerekiyor.

CEVAP 2: 4 kenardan daha fazla kenara sahip olan düzgün çokgenler elipsin içine çizilemez. Çünkü bütün düzgün çokgenlerin köşeleri bir çemberin üstündedir ve bir çember elipsi 4 noktadan fazla noktada kesmez. Bu nedenle kare dışında hiçbir düzgün çokgen her bir köşesi elips üstünde gelecek şekilde yerleştirilemez. Bunu kendiniz çizerek de görebilirsiniz.

SORU 3: Geometrik şekilleri kesip yeni şekiller de yaratabilirsiniz. Bu Tangram oyununa benzer bir oyun. Örneğin şekildeki yıldız şeklindeki düzgün oniki kenarlı şekli(heksagram) belirtilen katyerlerinden kesip yeniden birleştirerek bir kare elde edebilir misiniz?

Biraz daha zor ama benzer yöntemle Şekil 2. deki düzgün onikigenden yine kare yapabilir misiniz?


ŞEKİL 1	ŞEKİL 2

CEVAP 3: Şekillerin belirtilen kat yerlerini farklı renklere boyayalım. Böylece hangi parçaların yeni yarattığımız karelerde nerelere oturacağını daha kolay görebiliriz.


Soru 1	Cevap 1

Soru 2	Cevap

SORU 4: Matematikle ilgili pek çok kişinin "aklımdaki sayıyı bul" oyunun, "aklımdaki formülü bul" oyununa dönüştürmek mümkün. Bu oyun ikinci dereceden denklemlerle daha kolay oynanabiliyor. Yani formül en fazla x 2' sini içerecek şekilde. Karşınızdaki oyuncu bir formül tutsun. x' in yerine 0, 1 ve 2 sayılarını koyup denklemin bu sayılar için değerini öğrenin ve denklemi tahmin edin! Örneğin ben bir formül tuttum, ve formülümden x=0 için -7, x=1 için 1, x =2 için 19 sayıları elde ediliyor. Formülün ne olduğunu tahmin edebilir misiniz?

CEVAP 4: Aslında çözüm yöntemi basit ve sayı tutma oyununu oynayanlara tanıdık gelecek. Verdiğim sayıları bir satıra not edin. İkinci satıra sayıların birbirinden farkını not edin. Üçüncü satırada ikinci satırdaki sayıların farkını yazın. Şu şekilde:

-7	1	19	x(0) = -7,	x(1)= 1,	x(2)= 19
	8	18		1-(-7)= 8,	19–1=18
	10			18-8=10

Aklımdaki förmülde x2’nin katsayısı herzaman üçüncü satırdaki sayının yarısıdır. Yani 10/2=5. x’in katsayısı ikinci sıradaki ilk sayıdan üçüncü sıradaki sayının yarısı çıkarılarak bulunur. Yani 8-10/2=3. Formüldeki sabit sayı da tabiki x=0 için olan değer, yani ilk satırın birinci sayısıdır,–7. Artık formülü yazabilirim:

5x2 + 3x – 7

Biraz pratikle bu işlemleri zihninizde, kağıda yazmadan da hesaplayabilirsiniz.

SORU 5: Aşağıdaki halkalardan birini çıkardığımızda ne olur?

< /font>

İpucu: Herhangi iki halkanın birbirine bağlı olup olmadığını düşünün

SORU 6: Lewis Carroll, Alice Harikalar Diyarında romanının yazari olarak bilinen tanıdık bir matematikçi. Carroll "Yastık Altı Problemleri" diye bilinen gece yatmadan önce zihin egzersizi yapmak için düşündüğü birçok ilginç problem de üretti. Bunlardan biri yalan-doğru söyleme çelişkisi üzerine:

Üç arkadaş birbirleri hakkında şunları söylüyor:

Ayşe: "Betül yalan söylüyor."
Betül: "Cemal yalan söylüyor."
Cemal: "Ayşe ve Betül yalan söylüyor."

Bu ifadelere göre kimin yalan kimin doğru söylediğini bulabilir misiniz?

CEVAP 6: Ayşe A, Betül B, Cemal C olsun.

B doğru söylüyor diyelim. Bu durumda C yalan söylüyordur. C yalan söylüyorsa ya A yada B doğru söylüyor. B’nin doğru söylediğini kabul ettik bu durumda A yalan söylüyor. A’nın yalan söylemesi B’nin doğru söylemesi demek ve başta kabul ettiğimiz B doğru söylüyor önermesi ile çelişmiyor.

Bu durumda A ve C yalan, B doğruyu söylüyor

SORU 7: Neşe kızkardeşi uyurken gardroptan çoraplarını ve ayakkablarını almak için odasına giriyor ve kardeşi uyanmasın diye ışığı açmıyor. Dolapta 3 farklı markadan 6 ayakkabı ile siyah ve kayverengi renklerde 24 çorap yığını bulunuyor. Neşe’nin karanlıkta benzer bir çift çorap ve bir çift ayakkabı aldığından emin olabilmesi için kaç tane çorap ve ayakkabı çekip çıkarması gerekir?

CEVAP 7: 4 ayakkabı ve 3 çorap. Bu problemde çorapların yada ayakkabıların sayılarının çokluğu değil kaç farklı çeşitte olduğu önemli. Neşe’nin el yordamıyla aldığı 4 ayakkabıdan ikisi aynı marka olacaktır çünkü sadece üç farklı marka ayakkabı var. Neşe dolaptan 3 çorap çektiğinde ise ikisi aynı renkte olacaktır çünkü sadece 2 farklı renkte (siyah ve kahverengi) çorap var.

SORU 8: Yandaki üçgen çizimine sadece iki doğru parçası ekleyerek 10 adet üçgen oluşturabilir misiniz?

CEVAP 8: BC doğrusunu uzatın ve iki doğruyu da Şekilde gösterildiği gibi yerleştirin. 10 üçgen oluştu! Üçgenler şunlar: ABC, AGH, AIF, IGJ, HJF, DIB, EHC, EJD, GEB ve FDC.

SORU 9: Geçen haftanın proje sorusunu hatırlayanlar için daha kolay bir örnek sunuyoruz. Şekil 1’deki yıldızı en az kaç sayıda dar açılı üçgene bölebiliriz? Peki Şekil 2’deki figürü?

Şekil 1

Şekil 2

CEVAP 9: Şekillerde göreceğiniz gibi yıldızı 6, diğer figürü de 20 dar açılı üçgene bölmek mümkün.
Şekil 1	Şekil 2

SORU 10: Yandaki çarpma işleminde A, B ve C ile temsil edilen sayıları bulup çarpma işlemindeki boş yerleri doldurabilir misiniz? Burada basamaklar yıldız ve harflerle gösterilmiştir. Aynı harfler aynı rakamı temsil ederken, yıldızlar herhangi bir rakam gösteriyor.

CEVAP 10: A x ABC çarpımını ele alalım. A 1,2 veya 3’e eşit olabilir ama 4 ya da daha büyük bir sayı olamaz çünkü o zaman 3. satırdaki çarpım sayısı 4 hane olurdu. Öte yandan A = 1 de olamaz çünkü AxC çarpımının ilk hanesi C olurdu ama A (4. satır). A = 3 ise C = 1 olmalı ama C = 1 olamaz çünkü 3. satırdaki CxABC çarpımı 3 hanelik bir sayı olmalıydı ama 4 hane. O halde A=2 dir ve C=6 dır. Bu durumda yandaki toplamı elde ettik.

Şimdi B x 2B6 çapımını ele alalım. B=4 yada B=8’dir çünkü 6xB=B olmalı (5. satır). B=4 ise ABCxB çarpımı 4x246=984 olur ve bu 3 haneli bir rakamdır ama 5. satırda 4 haneli bir rakam görüyoruz. O halde B = 8 dir. Bu durumda ABC=286 BAC=826 olur:

Soru 11: 1’den 9’a (0 hariç) kadar olan sayıları bir kare bir matris içinde bir toplamı temsil edecek şekilde yazmak yerleştirmek sıkça rastladığımız sorulardan. Yanda bunun basit bir örneğini görebilirsiniz. Şekil 1’de 318 ve 654 toplanarak 972 elde edilmiş.
Santranç oyununda kalenin hareketini bilirsiniz. Kale taşı sadece yatay ve dikey hareketler yaparak ilerler. Şekil 2'de kale hamlesiyle yerleştirilmiş sayıları görüyoruz. 1’den başlayıp santrançtaki kale taşı gibi hareket ederek sırayla 2,3,4,...,9 sayılarını yerleştirebilirsiniz. Sorumuz şu: 3x3 bir kare matrise bu 9 sayıyı kale hamlesiyle öyle yerleştirin ki matrisin ilk iki satırının toplamı 3. satıra eşit olsun. Yani şekil 1’de ve Şekil 2’de tariflenen işlemleri aynı anda yaparak bir süper matris oluşturun.

Şekil 1

CEVAP 11: Bu sorunun cevabına en kısa yoldan ulaşmak için, 3x3 matrisin merkezine ve köşelerine tek sayıları yerleştirmek gerekecek. Matrisi bir satranç tahtası gibi boyarsak bu daha iyi görülebilir. Matrisin ortası koyu renk olmalı. Koyu karelerin sayısı açık karelerden fazla olduğuna göre kale hamlesi koyu karede başlayıp bitmeli ve çift sayılar da açık karelere yerleştirilmeli.

Dört çift sayının açık karelere yerleştirilmesi 24 farklı şekilde yapılabilir. Bunlardan 2 ve 4’dün çapraz olmadığı 8 tanesini hemen eleyebiliriz çünkü bunlar seri bir düzende yerleşmeye izin vermiyor. Geri kalan 16 yerleştirme hemen gözden geçirilebilir. Soldaki iki sütunundaki basamakların toplamı 10’u geçmemeli ve sağdaki sütundaki basamakların toplamı 10’u geçmeli. Ayrıca ortadaki sütundaki basamakların toplamı da çift olmalı Bir tek sayıyı bir çift sayıyla toplayıp yeniden çift sayı elde etmek için bir önceki toplamdan arta kalan bir eklenmeli. Bunlar dikkate alınarak oluşturulan ve tek olan bu matris şekilde görülüyor.

Soru 12: İki çapraz köşesi çıkarılmış bir satranç tahtası domino taşlarıyla tamamen kaplanabilir mi? Her domino taşı satranç tahtasının iki karesi boyutundadır ve her yerleştirmede bir domino taşı satranç tahtasında bir beyaz ve bir siyah kareye denk gelecek şekilde yerleştirilebilir.

CEVAP 12: Hayır. Çünkü satranç tahtasından çıkarılan çapraz köşede iki açık renkli kare vardır ve açık karelerin sayısı koyu karelerin sayısına eşit değildir. Bir domino taşının biri açık diğeri koyu iki satranç karesine denk gelmek zorunda olduğu düşünüldüğünde, domino taşlarıyla satranç tahtasını tamamen kaplamanın imkansızlığı daha net anlaş

Soru 13: Ali, Bekir, Cahit, Davut ve Erol koşu yarışmasına katılmışlar. Yarışmayı Bekir Ali'den 4 önde ve Davut da Cahit'ten 2 sıra geride tamamlamış. Erol'un yeri tek sayılı olduğuna göre her biri yarışmayı kaçıncı sırada bitirmiştir?

CEVAP 13:Bekir Ali’den 4 önce olduğuna göre yandaki sıralamada yerleri gösterildiği gibi olmalıdır. 5 kişi yarıştığına göre Bekir birinci Ali beşincidir. Cahit, Erol ve Davut da arada sıralnacaklardır. 1 ile 5 arasında bir tek 3 tek sayı olduğuna göre Erol da üçüncü sırada yer alacaktır. Davut da Cahitten iki geride olduğuna göre Cahit ikinci, Davut da dördüncü olmalıdır.

Bekir	Cahit	Erol	Davut	Ali
1.	2.	3.	4.	5.

Soru 14: Şekildeki üçgenin üç köşesine sırayla rakamlar yerleştirilmiş. 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 sayılarını her bir kenara iki sayı gelecek şekilde öyle yerleştirin ki üçgenin her kenarındaki sayıların toplamı 17 olsun.

Daha zor bir başka soru ise şu: Üçgenin hiçbir köşesine bir sayı yerleştirmemiş olalım. 1’den 9’a kadar olan sayıları siz üçgenin köşe ve kenarlarına öyle yerleştirin ki her kenardaki sayıların toplamı 20 olsun. (bu soruya birden fazla çözüm bulmak mümkün)

CEVAP 14: Herbir kenarındaki sayıların toplamı 17 olan üçgen Şekil 1’de, 20 olan iki üçgen ise Sekil 2a ve Şekil 2b’de görülebilir.

Şekil 1

Şekil 2a

Soru 15: Şekilde görülen 9 noktadan kaleminizi kaldırmadan ve çizdiğiniz doğrunun üzerinden ikinci kez geçmeden 4 doğru çizebilir misiniz?

CEVAP 15:

Soru 16: Çölde gündüzleri sıcak, geceleri soğuk olduğundan kol saatlerinin ayarları bozulur. Dedektif Kafacan Taklamakan Çölü'nde dolandırıcı Tezkaçan'ı ararken bir de bakıyor ki saati gün batarken 1/2 dakika ileri gidiyor, şafakta 1/3 saat geri kalıyor. 1 Temmuzda yola çıkarken saatinin doğru olduğuna emindi. Acaba hangi tarihte saati 5 dakika ileri gitmiş olacaktır?

İpucu: Kafacan'ın saati gün batarken 1/2 dakika ileri gidiyor, safakta 1/3 saat geri kalıyorsa, saatin ileri gidişi 1/6 dakikaya düşer.

CEVAP 16: Saat her 24 saatte 1/6 dakika ileri gidiyor. 1 Temmuz sabahı saat normaldi, ve 2 Temmuz sabahı 1/6 dakika, 3 Temmuz sabahı 2/6 dakika ileri gitmiş olacak. Görüldüğü gibi payda hep 6 pay ise günden 1 eksik, örneğin 3 Temmuzda 2, 4 Temmuzda 3 gibi. Demek ki 28 Temmuz sabahı saat, 27/6 dakika ileri gidecek. 28 Temmuz akşamı, gün batarken saat 1/2 yada 3/6 dakika daha ileri gidecek. Demek ki 29 Temmuz günü başlarken, yani 28 Temmuz günü gece yarısından sonra, saat 27/6 + 3/6 = 30/6 = 5 dakika ileri gitmiş olacak.

Soru 17: Bir üçgenin yükseklileri h1, h2, h3 olsun. Bu üçgenin yüksekliklerinin birbirine oranına ilişkin bize şu bilgi veriliyor:
h1:h2:h3 = 1:2:3
Bu üçgen çizilebilir mi?

CEVAP 17: Kenarlar kendilerine inen yüksekliklerle orantılıdır. Bu nedenle kenarlar da sırasıyla a, a/2, a/3 olmalıdır. Bir üçgenin çizilmesi için iki kenarının toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. a/2 +a/3 = 5a/6 ediyor. 5a/6 < a olduğundan bu üçgen çizilemez.

Soru 18: Şekilde görülen sihirli kareye öyle sayılar yerleştirin ki, satırların, kolonların ve diyagonellerin toplamı 15 olsun.

CEVAP 18:

Soru 19: Aşağıda görülen 10 kutuya 10 rakamlı bir sayı yazmanızı istiyoruz, öyle ki üzerinde 1 yazan kutunun içindeki rakam sayıdaki birlerin sayısını, 2 yazan kutunun içindeki rakam sayıdaki ikilerin sayısını göstersin. Yani her kutu üstündeki rakam, kutu içine yazacağınız rakamın sayısını belirtecek. Bu problemin tek bir çözümü olduğunu hatırlatalım.

CEVAP 19: Görüldüğü gibi 6210001000 sayısında 6 adet 0, 2 adet 1, 1 adet 2 var. 3,4,5,7,8,9 rakamları ise yok.

Soru 20: Eşit uzunluktaki 6 doğru parçasını kullanarak 8 adet eşkenar üçgen elde edebilir misiniz?

CEVAP 20: Şekildeki ABC, DEF, AGH, FGI, BIK, DKL, EJH üçgenleri 8 adet eşkenar üçgen oluşturuyor.

∆ Yukarı