Rastlantıların Şaşırtıcı Benzerliği

  Rastlantılar insanların her zaman ilgisini çekmiştir.  Raslantıların şaşırtıcı benzerliğini görmek için şu örneği inceleyelim:  Bir yılda 366 gün olduğuna göre (şubatı 29 gün sayıyoruz), bir grupta doğum günleri aynı olan en az iki kişinin bulunduğundan emin olabilmemiz için, o grubun 367 kişiden oluşması gerekir. Niçin?

  Ya bundan % 50 emin olmakla yetinseydik? Bir grupta aynı gün doğmuş iki kişinin bulunma olasılığının yukarıdakinin yarısı kadar olabilmesi için, grubun kaç kişiden oluşması gerekir?   İlk tahmininiz, 365’in yaklaşık yarısı olan 183 olabilir.  Oysa sürpriz yanıt, grubun sadece 23 kişiden oluşması gerektiğidir.  Başka bir deyişle, rasgele seçilen 23 kişi içinde, % 50 olasılıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacaktır.
Buna inanmakta zorlananlar için, aşağıda bu sonucun nasıl elde edildiğini kısaca gösterelim:

  Çarpım prensibine göre, beş tarihi seçebilmek için, (365x365x365x365x365=3655) yol vardır (tekrara izin verilmesi koşuluyla). Fakat 3655 yolla seçilen bu günlerin çakışmaması, ancak şu şekilde mümkündür: (365x364x363x362x361).  Bu son çarpımı (365x364x363x362x361)’i  3655 ‘e bölersek, rastgele seçilen 5 kişiden hiçbirinin doğum günleri aynı olmayacaktır.  Şimdi bu olasılığı 1’den (ya da eğer yüzde hesabı yapıyorsak % 100’den) çıkardığımızda, 5 kişiden en az ikisinin doğum günlerinin aynı olduğu, tamamlayıcı olasılığı elde ederiz.  5 yerine 23 kullanarak yapacağımız benzeri bir hesap, 1/2 ya da % 50 sonucunu verir.  O halde, 23 kişiden en az ikisinin ortak doğum gününe sahip olma olasılığı sözkonusudur. 

  Birkaç yıl önce bir televizyon şovundaki konuklardan biri bunu açıklamaya çalışmıştı.  Sunucu ona inanmadı.  Stüdyoda 120 izleyici bulunduğunu söyleyerek, kaç kişinin doğum gününün kendisiyle aynı olduğunu sordu. (onunki 19 Mart’tı.) Stüdyoda onunla aynı doğum gün doğmuş kimse yoktu.  Bunun nedeni, herhangi bir ortak doğum gününün bulunmasının  % 50 kesinlik kazanması için gerçekten de en az 23 kişi bulunması gerektiği, fakat bu durumun, belli bir doğum günü, örneğin 19 Mart için geçerli olmadığıydı.  19 Mart gibi belli bir günün, gruptan birinin doğum günü olduğundan % 50 emin olmak için, daha büyük bir grup, tam sayı vermek gerekirse 253 kişi gerekir.  Bunun ispatı ise şöyledir:

  Gruptan birinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı 364/365 olduğuna ve doğum günleri birbirinden bağımsız olduğuna göre, iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı  (364/365)x(364/365) ‘tir.  Yani N kişinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı (364/365)N ‘dir.  N=253 olduğunda, bu sonuç yaklaşık 1/2’ye eşit olur.   Büylece 253 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayıcı olsaılığı da 1/2 ya da % 50 ‘dir.

  Bundan çıkarılacak sonuç, gerçekleşme olasılığı düşük bir olayın olasılığının, belirli bir olayın gerçekleşme olasılığından çok daha yüksek olduğudur.

  Matematik yazarı Martin Gardner, genel olaylarla belirli olaylar arasındaki farkı, üstünde alfabenin yirmialtı harfinin bulunduğu bir çarka benzeterek açıklar.  Çark yüz kez döndürülüp, çıkan harfler kaydedilirse, “KEDİ” ya da “SICAK” sözcüklerinin ortaya çıkma olasılığı çok düşükken, herhangi bir sözcüğün ortaya çıkma olasılığı yüksektir.

  Sonuçtaki çelişki, düşük olasılığa sahip olayların gerçekleşmeme olasılığının çok düşük olmasıdır.   Öngörülen olayı kesin olarak belirlememeniz halinde, bu genel olayın gerçekleşmesi için sayısız yol vardır.  Çok ender gerçekleşen öngörüler sadece belirli olanlardır.

Hikayeler ve espriler I  ∆

Hayat karmaşıktır: Onun gerçek ve sanal kısımları bulunur.

Matematik öğrencisi Genel Topolojiden sözlüdeydi ("Genel Topolojiden nasıl sözlü yapılır?" diye sormayın, bu bir hikaye). Durumu da epey kötüydü. Öğrencinin yerlerde sürünen performansından gına gelen hocalardan biri sordu:

"-Pekala, topoloji hakkında ne biliyorsun? Bari onu söyle." Öğrenci cevap verdi:

"-Topolojistin tanımını biliyorum."

"-Söyle bakalım," dedi hoca, öğrencinin ünlü bir topolog bir kahve fincanı ile simit arasındaki farkı bilmeyen kişidir şeklindeki tanımı vereceğini umarak; ancak öğrecinin cevabı farklıydı:

"-Bir topolog kıçıyla yerdeki bir delik arasındaki farkı bilen, fakat kıçıyla yerdeki iki delik arasındaki farkı bilmeyen kişidir."

En son bilgime göre, öğrenci dersten geçmiş.

"Delikanlı, parlamento üyesi olmak istediğini anlıyorum. Öğrenmen gereken ilk ders, ben bebek ölümlerinin oranları hakkında istatistiksel bir rapor istediğimde, benim bütün istediğim, benim başbakanlığım döneminde ölen bebeklerin sayısının başka herhangi birinin başbakanlığı dönemindekilerden daha az olduğunun kanıtıdır.

Politik istatistik budur."

--Winston Churchill.

Entropi artık eskisi gibi değil.

 Üniversitenin birinde sınavlarda hesap makinesinin kullanılmasına izin verilip verilmesi konusunda tartışmalar yapılıyordu. Fizik bölümü kullanılması yönünde oy kullanan ilk bölümdü. İlk 3 saatlik sınavda da şu tek soruyu sormuşlardı:

"Planck sabitini 1 kabul ederek evreni tanımlayın."

Feynman bir gün derste açısal momentumdan söz ediyordu. Döndürme (rotasyon) matrislerini tanımladı ve onların değişmeli olmadıklarını söyledikten sonra ekledi:

"Sir William Hamilton bu değişme özelliğinin olmadığını Lady Hamilton'la bir bahçede gezintideyken keşfetmişti. Bir banka oturduklarında bir anlık bir tutku dalgası geçti. İşte bu anda Hamilton AxB'nin BxA'ya eşit olmadığını fark etti."

Bir ampulü değiştirmek için ...

Bir ampulü değiştirmek için kaç genel relativiteciye ihtiyaç vardır?
İki. Biri ampulü tutar, diğeri evreni döndürür.

Bir ampulü değiştirmek için kaç quantum fizikçisine ihtiyaç vardır?
Bir. İkisi bunu yapmak, biri de dalga fonksiyonunu renormalize etmek için.

Bir ampulü değiştirmek için kaç quantum mekanikçisine ihtiyaç vardır?
Onlar bunu yapamaz; çünkü duyun yerini belirleseler ampulün yerini belirleyemezler.

Bir ampulü değiştirmek için kaç Heisenberg'e ihtiyaç vardır?
Sayısını bilirsen ampulün yerini bilemezsin.

Bir ampulü değiştirmek için kaç astronoma ihtiyaç vardır?
Hiç; onlar karanlığı tercih eder.

Bir ampulü değiştirmek için kaç radyo astronomuna ihtiyaç vardır?
Hiç; onlar bu tür kısa dalgalarla ilgilenmezler.

Deneyci heyecanla teorisyenin odasına girer. Elinde son deneyiyle ilgili bir grafik vardır.

Teorisyen grafiği inceler ve "hımmm," der, "işte tam şu senin elde ettiğin yerde bir maksimum çıkması gerekiyordu. Nedeni de şu... (mantıksal bir sürü açıklama)"

Deneyci, "bir dakika," der, "grafiği ters tutuyorsun." Grafiği ters çevirerek teorisyene verir.

Teorisyen grafiği inceler ve "hımmm," der, "işte tam şu senin elde ettiğin yerde bir minimum çıkması gerekiyordu. Nedeni de şu ..."

*Önce oku atıp sonra da okun isabet noktayı merkez kabul eden daireleri çizen ve böylece daima 12'den vuran okçunun hikayesini duymuş muydunuz?  

Sonraki soru şuydu: Gezegenleri Güneş'in etrafında döndüren nedir?

Kepler'in zamanında bazıları bu soruya gezegenlerin arkasında meleklerin bulunduğu ve onların kanatlarını çırparak gezegenleri yörünge üzerinde ittiği cevabını veriyordu. Göreceğiniz gibi, bu cevap gerçekten o kadar da uzak değildir -- tek farkla ki melekler başka bir yerde duruyorlar ve gezegenleri Güneş'e doğru itiyorlar.
--Richard Feynman Character Of Physical Law, p. 8

*Feynman'ın ne demek istediğini gerçekten merak edenlere, Genel Çekim Yasasını incelemeleri önerilir.

Chem 101 Lab ilk yasa: Sıcak ve soğuk camın görünüşü aynıdır.

Daha sonra yanlış olduğunu bulduğumuz bir çok şeyi bilmedikleri için sınıfta bıraktığımız kimya öğrencilerinin sayısı üzerinde düşünmek bile çok rahatsızlık verici.
--quoted in Robert L. Weber, Science With a Smile (1992)

Enzimler, başka türlü açıklamak için üzerinde derin düşünme gerektiren şeyleri açıklamak için biyologlar tarafından uydurulmuştur.
-- Jerome Lettvin

Benim söylediğimi sandığın şeyi anladığına inanıyorum, fakat senin işittiğin şeyin benim kastettiğim şey olmadığını fark ettiğinden emin değilim.

Beni gerçeği arayan insanların arasına götür; onu bulmuş olanlardan beni kurtar.

Teknisyenler mühendis olduklarını düşünürler,

Mühendisler fizikçi olduklarını düşünürler,

Fizikçiler matematikçi olduklarını düşünürler,

Matematikçiler filozof olduklarını düşünürler,

Filozoflar teknisyen olduklarını düşünürler.

Teoride teori ile pratik arasında bir fark yoktur, ama pratikte arada dünya kadar fark vardır.

Adı konulmamış bir yasa: Gerçekleşiyorsa, mümkün olmalıdır.

Babaannene açıklayamadığın bir şeyi hakkıyla anlamış sayılmazsın.
--Albert Einstein

*Einstein'ın söylediği iddia edilen bütün lafları onun söyleyip söylemediğini çok merak ediyorum. Hani, adam modern bir Nasrettin Hoca haline gelmiş olmasın!?

 Hakem kararı: Anlayamadığımdan nefret ederim, nefret ettiğimi redderim.

Hikayeler ve espriler II     ∆

Prof X, haydi adını vermeyeyim, üniversitenin birinde nükleer fizik dersleri veriyordu, ama bir türlü kadroya alınmamıştı. Bu konuda bir kaç kez müracaat etmiş olmasına rağmen münhal kadro olmadığı gerekçesiyle başvuruları geri çevrilmişti.

Sonunda dekan onu çağırarak şöyle dedi:

"-Boş bir kadromuz var, ama bize bayan bir fizikçi lazım, sen erkeksin; bize katı hal fizikçisi lazım, sen nükleer fizikçisin; ve bize bir deneysel fizikçi lazım, sen teorik fizikçisin."

Prof X bir an düşündükten sonra cevap verdi:

"-Şartlarınızın ilk ikisini kabul etmeye hazırım, ama deneysel fizikçi! Asla!"

Einstein bir çok yerde konferanslar vermişti. Bu konferanslara özel şoförün kullandığı bir otoyla gidiyordu. O konferans verirken şoför de dinleyiciler arasında oturarak onu dinlerdi. Bir gün yine bir yere konferansa gidiyorlardı. Bir aralık şoför,

"-Dr Einstein," dedi, sizi o kadar uzun zamandır defalarca dinledim ki artık yapacağınız konuşmayı kelimesi kelimesine biliyorum." Yaşlı adam pası almıştı.

"-Pekala," dedi, "şimdi gitmekte olduğumuz yerde beni tanımazlar. Palto ve şapkalarımızı değişelim ve sen konuş."

Şoför konuştu. Gerçekten de dersini iyi çalışmıştı. Biri çıkıp da daha önceki konferanslarda sorulmamış bir soru soruncaya kadar sorular kısmını bile başarıyla götürüyordu. Yine de bozuntuya vermedi:

"-Böyle basit bir şeyi sormanız gerçekten çok garip," dedi, "şimdi arka sırada oturan şoförümü çağıracağım ve size cevap vermesini söyleyeceğim."

(Dikkat: Bu sadece bir hikayedir, gerçek kişi ve olaylara benzerliği sadece tesadüften ibarettir.)

The Feynman Lectures on Physics'in bütün ciltlerinde Feyman'ın bongo davulu çalarken çekilmiş bir resmi vardır. James Gleick'ın Dahi, Richard Feynman ve Modern Fizik'te yazdığına göre, İsveçli bir ansiklopedi yayıncısı Feynman'dan bu fotoğrafın bir kopyasını istemiş ve onunla "teorik fiziğin temsil ettiği zorluklara insani bir yaklaşım kazandırmayı" düşünmüştü. Feynman patladı.

"-Sayın Bay," diye karaladı, "benim bir davul çalıyor olmamın teorik fizikçi olmamla hiç bir ilişkisi yoktur. Teorik fizik insani bir faaliyettir, insan eliyle gerçekleştirilmiş en yüksek gelişmelerden biri - ve onunla uğraşan insanların da insan olduğunu sürekli (bongo davulları çalmak gibi) az sayıda diğer insanların yaptığı şeyleri göstererek kanıtlama arzusu bana hakarettir.

Ben size, cehenneme kadar yolunuz var, diyecek kadar insanım."

Bence uçan daireler hakkındaki raporların, dünyadışı zekaların bilinmeyen mantıklı çabalarından ziyade dünyalı zekaların bilinen mantıksız niteliğinin bir sonucu olması daha çok muhtemeldir.
--Richard Feynman

Hikayeler ve espriler III     ∆

Büyük matematikçi David Hilbert uçakla yolculuğun ilk zamanlarında kendi seçeceği herhangi bir konuda konuşma yapması için davet edilmişti. Onun seçtiği konu Fermat’nın Son Teoreminin Kanıtı idi.

Söylemek gereksiz ya, konuşma merakla bekleniyordu. Gelip konuşmasını yaptı. Harika bir konuşmaydı, ama Fermat’nın Son Teoremiyle hiç bir ilgisi yoktu. Konuşma bittikten sonra biri niçin konuşmayla ilgisi olmayan bir konu seçtiğini sordu. Hilbert cevap verdi: "Oh, o sadece uçağın düşme ihtimaline karşı bir tedbirdi."

Baba filmini seyredenler, filmde Baba’nın kullandığı şu deyimi mutlaka hatırlar:

"-Ona reddedemeyeceği bir teklifte bulunacağım."

Peki, Baba Don Vito Corleone bir matematikçi olsaydı bu lafı nasıl söylerdi?

"-Ona anlayamayacağı bir teklifte bulunacağım."

S: Bir ruh ve sinir hastalıkları hastanesindeki hastalarla personel arasındaki fark nedir?

C: Hastalar iyileşir ve taburcu olurlar.

Psikiyatrın birinin her 1 hastasından 2 si çift kişilikliymiş.

(Acaba psikiyatrlar çok kişilikli hastalarından kişi başına mı ücret alıyorlar?)

Adam barda gördüğü güzel bir bayanla konuşmanın yollarını arıyordu. Sonunda cesaretini toplayarak kıza yaklaştı ve, "biraz konuşabilir miyiz, acaba?" dedi. Kız birden haykırdı: "Terbiyesiz! Ben senin bildiğin kızlardan değilim!"

Adam utancından yerin dibine girmişti. Herkes ona bakıyordu. Gitti ve masasına oturdu.

Bir süre sonra kız ona yaklaştı. Gülümseyerek, "Az önceki olay için özür dilerim. Ben psikoloji öğrencisiyim ve utandırıcı durumlarda insanların nasıl davrandıklarını inceliyordum." dedi. Adam avaz avaz bağırarak cevap verdi: "Ne? Gecesi 200 dolar mı? Deli misin sen?"

Adam vahşice dövülmüş ve parası çalınmıştı. Kaldırımda kendinden geçmiş ve yararları kanayarak yatıyordu. Yoldan geçenler dönüp te bakmadılar bile. Kazara bakanlar da başlarını diğer tarafa çevirdiler. Derken bir psikologun yolu oraya düştü. Adamı görünce hemen yanına koştu, onu inceledi ve şöyle dedi: "Aman Allah’ım! Bunu kim yaptıysa acil psikiyatrik yardıma ihtiyacı var."
 

Sekreter psikologu interkomdan aradı:
"-Doktor, burada görünmez olduğunu sanan bir hasta var."

Psikolog cevap verdi:
"-Ona söyle, şimdi onu göremem."

Pauli Heisenberg’e şöyle sormuştu: "Şahsen inandığın bir tanrın var mı?"

Heisenberg cevap verdi: "Sorunu yeniden ifade edebilir miyim? Ben şu ifadeyi tercih ediyorum:

Sen, ya da bir başkası, nesnelerin veya olayların, varlığı bütün şüphelerin ötesinde gözüken merkezi düzenine, bir başka insanın ruhuna doğrudan ulaşabildiğin gibi ulaşabilir mi? Ruh kelimesini yanlış anlaşılmamak için bilerek kullanıyorum. Eğer soruyu böyle sorarsan, cevabım evettir."

--Werner Heisenberg, Fizik ve Ötesi. New York: Harper & Row, 1971, Page 215.

Stanford’dan bir araştırma grubu, obsessif-kompulsif bozukluklar üzerine bir araştırma yapmak için katılımcı aradıklarını ilan etti. İlana ilgi muhteşem oldu. Daha 3 gün geçmeden 3,000 e yakın cevap gelmişti. ... ve hepsi de aynı kişi tarafından gönderilmişti.

The New England Tıp Jurnalinin raporuna göre, doktorların 10 da 9 u doktorların 10 da birinin salak olduğunu düşünüyormuş.
--Jay Leno

Elime bir eleman aranıyor ilanı geçti, aranızdan ilgilenenlere duyurulur. İlan aynen şöyle:

Eleman aranıyor.

Nükleer fizyon izotop molekül reaktif sayaçları ve 3 fazlı siklotronik uranyum fotosentezleyici işinde çalışacak eleman aranıyor.

Deneyiminizin olması şart değildir.

Ve Buddha onlara dedi:
"Size benim kim olduğumu sorulduğunda, ne cevap vereceksiniz?"

Onlar dediler:
"Sen bizim varoluşumuzun temelindeki eskatalojik manifestasyon ve bizim açıklanan öz benliğimiz bağlamının ontolojik temelisin."

Ve Buddha cevap verdi: "HA!?"

Zenophobia: Yakınsak dizilerden mantıksızca korku.

"Bazıları benim korkunç bir kimse olduğumu düşünüyorlar. Hiç bile! Bende bir çocuk kalbi var: Masamda ve bir kavanozun içinde.
--Stephen King, 3/8/90

Biyolog dedi ki: "Ben yaşamın temel kurallarını inceliyorum."
Psikolog dedi ki: "Yaşamın temel kuralları sana hükmeder."

İşadamı dedi ki: "Ben ekonomiye hükmederim."
Ekonomist dedi ki: "Ekonominin kuralları senin işine hükmeder."

Mühendis dedi ki: "Evren benim denklemlerimin bir modelidir."
Fizikçi dedi ki: "Benim denklemlerim evrenin bir modelidir."

Matematikçi dedi ki: "Hiç umurumda bile değil."

Çantası çalınan kadın mahkemede olayı anlatıyordu. Sanığı göstererek şöyle dedi:
"-Evet, bu o! Onu gün gibi gördüm. Onun yüzünü her yerde tanıyabilirim."
Sanık yerinden fırladı:
"-Bayan, benim yüzümü nasıl görmüş olabilirsiniz? Yüzümde maske vardı!"

Kimya laboratuarında hoca, birinci sınıflara ilk dersi yapıyordu. Elinde içinde sarı sıvı bulunan kap vardı.

"-Bir kimyacının öğrenmesi gereken ilk şey hiç bir şeyden iğrenmemektir. Bu kapta at sidiği bulunuyor. Atın diyabetik olup olmadığını anlamanın en basit yolu onu tadıp şeker tadı olup olmadığına bakmaktır."

Parmağını sıvıya soktu ve sonra ağzına götürüp yaladı.

"-Şimdi, denemek isteyen var mı?"

Her zaman olduğu gibi sınıftan bir kahraman kalkıp hocaya doğru ilerledi. Parmağını sıvıya soktu ve ağzına götürüp yaladı. Yüzündeki ifadeden anlaşıldığı gibi gerçekten at sidiğiydi. Öğrenci yerine dönüp oturdu.

Hoca tekrar konuştu.

"-Bir kimyacının bilmesi gereken ikinci şey de çok iyi gözleyip hiç bir detayı atlamamasıdır."

Sonra aynı deneyi tekrarladı. Orta parmağını sıvıya soktu ve işaret parmağını yaladı.

Albert Einstein bir defasında keman çalmaya merak salmıştı. Bir Haydn yaylı kuarteti üzerinde çalışıyordu. İkinci bölümdeki kendi sırasını dördüncü kez de kaçırınca çellist ona şöyle dedi:

"-Senin sorunun ne biliyor musun, Albert? Sen saymayı bilmiyorsun."

Einstein aktif profesörlük yaparken bir öğrencisi ona şöyle dedi:
"-Bu seneki sorular geçen seneki soruların aynısı!"
"-Doğru," dedi yaşlı adam ve ekledi, "ancak bu sene bütün cevaplar farklı."

George Gamow’un Fiziği Sarsan 30 Yıl kitabında anlattığına göre Niels Bohr’un odasında at nalı asılıymış. At nalının uğur getirdiğine inanıp inanmadığı kendisine sorulduğunda şöyle dermiş:

"-Biliyor musunuz, uğur getirdiğine inanmasanız bile at nalı uğur getirebiliyormuş."

Hükümet matematik bilmeyenlere vergi koyacakmış. Ne kadar saçma! Sayısal loto başka ne işe yarıyor ki?
--Gallagher

Matematik öğrencilerinden bir tanesi kafayı yemiş. Kendisini diferansiyel operatörü sanıyor. Kantinde,

"-Senin diferansiyelini alırım ulan! Senin türevini alırım ulan!"

diye dolaşıyor. Herkes kaçışıyor fakat bir öğrenci hiç yerinden kıpırdamıyor.

"-Ne o?" diyor, "Sen benden korkmuyor musun?"

"-Tabii ki korkmuyorum."

"-Niye korkmuyormuşsun bakayım?"

"-Ben e^x'im."

"-Ama ben d/dy'yim."

Astronom Güneş tutulmasını izlemek için Afrika'ya gitmişti. Yamyamların eline düştü. Onu bir direğe bağladılar ve başına bir nöbetçi diktiler. Nöbetçiyle çat-pat konuşmaya çalıştı

"-Bana ne yapacaksınız?"

"-Seni yiyeceğiz."

"-Beni ne zaman yemeyi düşünüyorsunuz?"

"-Yarın öğle yemeğinde..."

"Harika!" diye geçirdi aklından astronom. Ertesi gün öğle üzeri Güneş tutulması olacağını biliyordu. "Bunlara Güneş'e hükmedebilen bir tanrı olduğumu kanıtlayabilirsem paçayı kurtarırım."

"... ama biraz gecikebilir," diye devam etti nöbetçi, "çünkü yarın önemli bir gün. Öğle üzeri bütün kabile hep birlikte Güneş tutulmasını izleyeceğiz de."

3 işletmeci 3 mühendis:
(Mühendisler mi yoksa işletmeciler mi daha akıllı iddiasının bir ürünü)

Üç işletmeci ve üç mühendisin iş icabı trenle bir seyahate çıkmaları gerekir. Tren garına giderler. Üç işletmeci 3 bilet aldığı halde mühendisler tek bilet alır. İşletmeciler bunun sebebini sorduklarında mühendisler, "bekleyin ve görün," derler.

Trene binerler ve tren hareket ettikten bir süre sonra üç mühendis kalkıp hep beraber trenin tuvaletine girerler. Biraz sonra kondüktör gelir ve üç işletmeciden üç bileti alır. Tuvaletin önünden geçerken kapıyı tıklatıp, "bilet lütfen," der. Kapı açılır ve bir el bileti uzatır. İşletmeciler bunu görürler. Taktiği kapmışlardır.

Dönüş yolculuğu için yine gara giderler. İşletmeciler bu sefer tek bilet almışlardır. Mühendisler ise hiç bilet almaz. İşletmeciler yine şaşırıp sebebini sorduklarında mühendisler yine bekleyip görmelerini söylerler. Bir süre sonra yolculuk başlar.

Önce işletmeciler kalkıp bir tuvalete girer. Ardından da mühendisler karşısındaki tuvalete. Kondüktörün gelmesine yakın bir mühendis çıkıp karşı kapıyı tıklar ve "bilet lütfen," der. Açılan kapıdan bir el bileti uzatır. Bileti alan mühendis diğer tuvalete geri girer!

∆ Yukarı